Dimostrazione altermativa del primo teorema di Euclide

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Per la dimostrazione facciamo riferimento alla Figura 1. Sopra il cateto  AC costruiamo il quadrato ACDE, mentre sulla proiezione AH costruiamo il rettangolo  AHGF in cui AF=AB . Tracciamo poi i segmenti CF ed EB e consideriamo i triangoli ABE e AFC. Essi sono uguali per il primo criterio di uguaglianza dei triangoli. Ora, il rettangolo AHGF e il triangolo AFC hanno la stessa base (AF) e la stessa altezza (la distanza tra le due rette parallele AF e CG); il rettangolo è dunque equivalente al doppio del triangolo. Inoltre, il quadrato ACDE e il triangolo ABE hanno la stessa base (EA) e la stessa altezza (la distanza tra le due rette parallele (EA e BD), pertanto il quadrato sarà equivalente al doppio del triangolo.